题目

在△ABC 中，∠ACB=90° AD 是它的角平分线，EB⊥AB 于点 B 且交 AD 的延长线于点 E. 图 1                          图 2 （1） 如图 1，求证：BD=BE （2） 如图 2，过点 E 作 EF⊥BC 于点 F, CF:BF=5:3, BE=10,求 DF 的长. 答案： 证明：过点B作BG⊥DE于G ∵AD是△ABC的角平分线 ∴∠BAD=∠CAD ∵EB⊥AB ∴∠ABE=90° 在Rt△ABE中 ∠BAE+∠E=90° 在Rt△ACD中 ∠CAD+∠ADC=90° ∴∠ADC=∠E ∵∠ADC=∠BDE ∴∠BDE=∠E ∵BG⊥DE ∴∠BGD=∠BGE ∵BG=BG ∴△BDG≌△BEG（AAS） ∴BD=BE 解:过点D作DH⊥AB于H， ∵ ∠ACB=90° ∴ CD⊥AC ∴ CD=DH ∵ ∠ABE=90° ∴ ∠ABC+∠FBE=90 ∵ EF⊥BD ∴ ∠BFE=90° ∴ ∠FEB+∠FBE=90° ∴ ∠HBD=∠FEB ∵ DH⊥AB ∴ ∠BHD=90° ∴ △BHD≌△EBF（AAS） ∴ DH=BF ∴ CD=BF ∵ CF:BF=5:3 ∵ 设CF=5x,BF=3x,则CD=3x, DF=CF-CD=5x-3x=2x BD=BF+DF=3x+2x==5x ∵ BE=10 ∴ 5x=10,x=2 ∴ DF=2×2=4

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