题目

二次函数的图象与轴交于、两点，点，与轴交于点 . （1），；（2）如图1，是轴上一动点，点在轴上，连接，求的最小值；（3）如图2，点在抛物线上，若，求点的坐标. 答案：【1】1【2】-3 解：如图1中，作 PH⊥BC 于 H .∵ OB=OC=3 ， ∠BOC=90° ， ∴ ∠PCH=45° ，在 RtΔPCH 中， PH=22PC . ∵ 2DP+PC=2(PD+22PC)=2(PD+PH) ，根据垂线段最短可知，当 D 、 P 、 H 共线时 2DP+PC 最小，最小值为 2DH′ ，在 RtΔDH′B 中，∵ BD=4 ， ∠DBH′=45° ，∴ DH′=22BD=22 ， ∴ 2DP+PC 的最小值为 2⋅22=4 . 解：如图2中，取点 E(1,0) ，作 EG⊥BC 于 G ，易知 EG=2 ∵ SΔEBC=12⋅BC⋅EG=12⋅32⋅2=3 ∴过点 E 作 BC 的平行线交抛物线于 M1 ， M2 ，则 SΔBCM1=3 ， SΔBCM2=3 ， ∵直线 BC 的解析式为 y=x−3 ， ∴直线 M1M2 的解析式为 y=x−1 ，由 {y=x−1y=x2−2x−3 解得 {x=3+172y=1+172 或 {x=3−172y=1−172 ∴ M1(3+172,1+172) ， M2(3−172,1−172) 根据对称性可知，直线 M1M2 关于直线 BC 的对称的直线与抛物线的交点 M3 、 M4 也满足条件，易知直线 M3M4 的解析式为 y=x−5 ，由 {y=x−5y=x2−2x−3 解得 {x=1y=−4 或 {x=2y=−3 ∴ M3(1,−4) ， M4(2,−3) ，综上所述，满足条件的点 M 的坐标为： M1(3+172,1+172) ， M2(3−172,1−172) ， M3(1,−4) ， M4(2,−3) .

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