题目

定义在 上的函数 对任意的 ，满足条件： ，且当 时， . （1） 求 的值； （2） 证明：函数 是 上的单调增函数； （3） 解关于 的不等式 . 答案： 解：由题意：定义在R上的函数 y=f(x) 对任意的 x,y∈R ， 满足条件： f(x+y)=f(x)+f(y)−1 , 令 x=y=0 ，由 f(x+y)=f(x)+f(y)−1 ，解得 f(0)=1 . 证明：设 x1<x2 ， x1,x2∈R ，则 x2−x1>0 ， 由题意知， f(x2−x1)>1 ， 所以 f(x2)−f(x1)=f(x2−x1+x1)−f(x1)=f(x2−x1)+f(x1)−1−f(x1) =f(x2−x1)−1>0 ， 即 f(x2)>f(x1) ， 所以函数 f(x) 是R上的单调增函数． 解：由（1）（2）可知函数 f(x) 是R上的单调增函数，且 f(0)=1 ， 不等式 f(2t2−t)<1 ，即 f(2t2−t)<f(0) ，     故 2t2−t<0 ，解得 0<t<12 . 所以不等式的解集为 (0,12)

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