题目

如图，⊙是的外接圆，AB是⊙的直径，点D在⊙上， ， 连接AD，延长DB交过点C的切线于点E. （1） 求证：； （2） 求证：； （3） 若 ， 求DB的长. 答案： 证明：∵AC⌢=AC⌢，∴∠ADC=∠ABC∵AC=CD∴∠ADC=∠CAD∴∠ABC=∠CAD 证明：如图，连接OC∵CE是⊙O的切线，∴OC⊥CE∵CO=OB∴∠OCB=∠OBC=∠ABC∵四边形ADBC是⊙O的内接四边形，∴∠CBE=∠CAD∵∠CAD=∠ABC∴∠OCB=∠CBE∴OC∥BE∵OC⊥CE∴BE⊥CE 解：∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°，∵AC=4，BC=3，∴AB=AC2+BC2=5，∵∠ACB=∠E=90°，∠CAB=∠CDB，∴△ACB∽△DEC，∴ACDE=ABCD，∴4DE=54，∴DE=165，∵∠CBE=∠ABC，∴△ACB∽△CEB，∴CBBE=ABCB，∴3BE=53，∴BE=95，∴BD=DE-BE=165−95=75，∴DB的长为75.

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