题目

如图所示，在四棱锥P-ABCD中，四边形ABCD为平行四边形，△PCD为正三角形，∠BAD=30°，AD=4，AB=2，平面PCD⊥平面ABCD，E为PC中点．（1）证明：BE⊥PC；（2）求多面体PABED的体积． 答案：【答案】（1）见解析；（2）3【解析】（1）先证明PC⊥面BDE，再证明BE⊥PC；（2）先求的体积，再求的体积，从而可得多面体PABED的体积．（1）∵BD2=AB2+AD22AB•AD•cos∠BAD=4，∴BD=2，∴∠ABD=90°，∴BD⊥CD，∵面PCD⊥面ABCD，面PCD∩面ABCD=CD，∴BD⊥面PCD，∴BD⊥PC，∵△PCD是正三角形，E为PC的中点，∴DE⊥PC，∴PC⊥面BDE，∴BE⊥PC．（2）作PF⊥CD，EG⊥CD，F，G为垂足，∵面PCD⊥面ABCD，∴PF⊥面ABCD，EG⊥面ABCD，∵△PCD是正三角形，CD=2，∴PF=3，EG=，∴VP-ABCD==4，=，∴多面体PABED的体积V=VP-ABCD-VE-BCD=4=3．

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