题目

已知数列{an}的前n项和为Sn ， 满足 ，且a1=3． （Ⅰ）求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）求证： ． 答案：解：（Ⅰ）数列{an}的前n项和为Sn，且 Sn=Sn−1+2an−1+1，(n≥2，n∈N*) ， ∴Sn﹣Sn﹣1=2an﹣1+1，（n≥2，n∈N*），即an=2an﹣1+1（n≥2，n∈N*），∴an+1=2（an﹣1+1），∴数列{an+1}是等比数列；又a1+1=3+1=4，∴ an+1=4×2n−1 ，∴ an=2n+1−1 ；（Ⅱ）由（Ⅰ）知， an+1=2n+1 ，∴{ 1an+1 }是首项为 14 ，公比为 12 的等比数列，因此 1a1+1+1a2+1+⋯+1an+1=14(1−12n)1−12 = 12(1−12n) <12 ．

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