题目

如图，抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A（一1，0），B（3，0）两点，过点A的直线l交抛物线于点C（2，m）. （1） 求抛物线的解析式. （2） 点P是线段AC上一个动点，过点P作x轴的垂线交抛物线于点E，求线段PE最大时点P的坐标. （3） 点F是抛物线上的动点，在x轴上是否存在点D，使得以点A，C，D，F为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，请直接写出所有满足条件的点D的坐标；如果不存在，请说明理由. 答案： 将A（一1，0），B（3，0）两点坐标分别代入抛物线解析式中，得 {0=1−b+c0=9+3b+c 解得： {b=−2c=−3 ∴抛物线的解析式为 y=x2−2x−3 ； 将点C（2，m）代入抛物线解析式中，得 m=22−4−3 =-3 ∴点C的坐标为（2，-3） 设直线AC的解析式为y=kx＋d 将A（一1，0）和点C（2，-3）的坐标分别代入，得 {0=−k+d−3=2k+d 解得： {k=−1d=−1 ∴直线AC的解析式为 y=−x−1 设点P的坐标为（x， −x−1 ），易知点E的坐标为（x， x2−2x−3 ）且-1≤x≤2 ∴PE= −x−1 － (x2−2x−3) = −x2+x+2 = −(x−12)2+94 ∵-1＜0 ∴抛物线的开口向下， ∴当 x=12 时，PE有最大值，最大值为 94 此时点P的坐标为（ 12 ， −32 ）； 存在， 设点D的坐标为（n，0），点F的坐标为（t， t2−2t−3 ） 若AD和CF为平行四边形的对角线时， ∴AD的中点即为CF的中点 ∴ {−1+n2=2+t2①0+02=−3+(t2−2t−3)2② 解②，得 t1=1−7 ， t2=1+7 将 t=1−7 代入①，解得：n= 4−7 ； 将 t=1+7 代入①，解得：n= 4+7 ； ∴此时点D的坐标为（ 4−7 ，0）或（ 4+7 ，0）； 若AC和DF为平行四边形的对角线时， ∴AC的中点即为DF的中点 ∴ {−1+22=n+t2①0+(−3)2=0+(t2−2t−3)2② 解②，得 t1=0 ， t2=2 （此时点F和点C重合，故舍去） 将 t=0 代入①，解得：n=1； ∴此时点D的坐标为（1，0）； 若AF和CD为平行四边形的对角线时， ∴AF的中点即为CD的中点 ∴ {−1+t2=n+22①0+(t2−2t−3)2=0+(−3)2② 解②，得 t1=0 ， t2=2 （此时点F和点C重合，故舍去） 将 t=0 代入①，解得：n=-3； ∴此时点D的坐标为（-3，0）； 综上：存在，此时点D的坐标为（ 4−7 ，0）或（ 4+7 ，0）或（1，0）或（-3，0）.

查看本题答案和解析