题目

对于代数式ax2+bx+c，若存在实数n，当x=n时，代数式的值也等于n，则称n为这个代数式的不变值.例如：对于代数式x2 ， 当x=0时，代数式等于0；当x=1时，代数式等于1，我们就称0和1都是这个代数式的不变值.在代数式存在不变值时，该代数式的最大不变值与最小不变值的差记作A. 特别地，当代数式只有一个不变值时，则A=0. （1） 代数式x2−2x的不变值是，A=. （2） 说明代数式2x2+3没有不变值； （3） 已知代数式x2−bx+b， ①若A=0，求b的值； ②若1≤A≤2，b为整数，求所有整数b的和. 答案： 【1】0和3【2】3 解：由定义知设2x2+3的不变值为n,， 2n2+3=n， 2n2-n+3=0， Δ=1-24=-23<0， 方程无实根， 代数式2x2+3没有不变值； 解：①由A=0知方程只有一个不变值，设不变值为x， ∴x2−bx+b=x， 整理得：x2-(b+1)x+b=0， ∵方程只有一个不变值， ∴方程有两个相等实根， ∴Δ=(b+1)2-4b=0， ∴b=1， ②最大根为x2，最小根x1，则A=x2-x1， 由1≤A≤2，b为整数， ∴1≤x2-x1≤2， ∴1≤(x2-x1)2≤4， ∴1≤(x2+x1)2-4x1•x2≤4， ∵x1、x2是x2-(b+1)x+b=0的两个根， ∴由根与系数关系得，x1+x2=b+1，x1•x2=b， ∴1≤(b+1)2-4b≤4， ∴1≤(b-1)2≤4， ∴1≤|b-1|≤2， 当b<1时，|b-1|=1-b， ∴1≤1-b≤2， ∴0≤-b≤1，则-1≤b≤0， 当b≥1时，|b-1|=b-1， ∴1≤b-1≤2， 则2≤b≤3， 因为b为整数，则b=-1，0，2，3 所有整数b的和为：-1+0+2+3=4.

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