题目

已知椭圆的离心率为 ， 圆与轴相切，为坐标原点. （1） 求椭圆的方程； （2） 设椭圆的右焦点为 ， 过点的直线交椭圆于两点，是否存在直线使的面积为？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由. 答案： 解：因为圆x2+(y−b)2=1与x轴相切，所以b=1，所以a2=c2+1，又e=ca=32，所以a=2，c=3，所以椭圆C：x24+y2=1； 解：由（1）可知椭圆C：x24+y2=1的右焦点为F(3，0)，①当直线l的斜率为0时，显然不适合题意；②当直线l的斜率不为0时，设直线l：x=my+3，A(x1，y1)，B(x2，y2)联立{x=my+3x24+y2=1⇒(m2+4)y2+23my−1=0，Δ=12m2+4(m2+4)>0恒成立，所以y1+y2=−23mm2+4，y1y2=−1m2+4，则|y1−y2|=(y1+y2)2−4y1y2=(23mm2+4)2+4m2+4=4m2+1m2+4所以S△OAB=12×|OF|×|y1−y2|令23×m2+1m2+4=265，解得m2=1或m2=72，即得m=±1或m=±142，所以符合条件的直线方程分别为x+y−3=0或x−y−3=0或2x−14y−23=0或2x+14y−23=0.

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