题目

在三棱锥ABC﹣A1B1C1中，底面ABC是边长为2的正三角形，侧棱AA1⊥底面ABC，AA1= ，P、Q分别是AB、AC上的点，且PQ∥BC． （1） 若平面A1PQ与平面A1B1C1相交于直线l，求证：l∥B1C1； （2） 当平面A1PQ⊥平面PQC1B1时，确定点P的位置并说明理由．S． 答案： 证明：∵PQ∥BC∥B1C1，B1C1⊂面A1B1C1，PQ⊄面 A1B1C1， ∴PQ∥面A1B1C1；∵面A1PQ∩面A1B1C1=l，∴PQ∥l，∴l∥B1C1； 证明：P为AB的中点时，平面A1PQ⊥面PQC1B1； 证明如下：作PQ的中点M，B1C1的中点N，连接A1M，MN，A1N，∵PQ∥BC，AP=AQ，进而A1Q=A1P，∴A1M⊥PQ，∵平面A1PQ⊥面PQC1B1，平面A1PQ∩面PQC1B1=PQ，∴A1M⊥面PQC1B1，而MN⊂面PQC1B1，∴A1M⊥MN，即△A1MN为直角三角形；连接AM并延长交BC于G，显然G是BC的中点，设AP=x，则PB=2﹣x，则由 AMAG = APAB ，可得 AM3 = x2 ，解得AM= 32 x，在Rt△AA1M中， A1M2 = AA12 +AM2= 34 + 34 x2．同理MG=AG﹣AM= 3 ﹣ 32 x，在Rt△MGN中，MN2=MG2+GN2= (3-32x)2 + (32) = 154 ﹣3x+ 34 x2．∴在Rt△A1MN中， A1N2 = A1M2 +MN2，即3= 34 + 34 x2+ 154 ﹣3x+ 34 x2，解得x=1，即AP=1，此时P为AB的中点

查看本题答案和解析