题目

如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧面BB1C1C为菱形，AB⊥B1C． （1） 证明：AC=AB1； （2） 若AC⊥AB1 ， ∠CBB1=60°，AB=BC，求二面角A﹣A1B1﹣C1的余弦值． 答案： 证明：连结BC1，交B1C于点O，连结AO， ∵侧面BB1C1C为菱形，∴BC1⊥B1C，且O为BC1和B1C的中点，又∵AB⊥B1C，∴B1C⊥平面ABO，∵AO⊂平面ABO，∴B1C⊥AO，又B10=CO，∴AC=AB1， 解：∵AC⊥AB1，且O为B1C的中点，∴AO=CO， 又∵AB=BC，∴△BOA≌△BOC，∴OA⊥OB，∴OA，OB，OB1两两垂直，以O为坐标原点， OB→ 的方向为x轴的正方向，| OB→ |为单位长度， OB1→ 的方向为y轴的正方向， OA→ 的方向为z轴的正方向建立空间直角坐标系，∵∠CBB1=60°，∴△CBB1为正三角形，又AB=BC，∴A（0，0， 33 ），B（1，0，0，），B1（0， 33 ，0），C（0， −33 ，0）∴ AB1→ =（0， 33 ， −33 ）， A1B1→ = AB→ =（1，0， −33 ）， B1C1→ = BC→ =（﹣1， −33 ，0），设向量 n→ =（x，y，z）是平面AA1B1的法向量，则 {n→⋅AB1→=33y−33z=0n→⋅A1B1→=x−33z=0 ，可取 n→ =（1， 3 ， 3 ），同理可得平面A1B1C1的一个法向量 m→ =（1，﹣ 3 ， 3 ），∴cos＜ m→ ， n→ ＞= n→⋅m→|n→|⋅|m→| = 17 ，∴二面角A﹣A1B1﹣C1的余弦值为 17

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