题目

已知：在 中， ． （1） 如图1， 是 边上两点， ， 求 的度数． （2） 点 是 边上两动点(不与 重合)， 点 在点 左侧，且 ，点 关于直线 的对称点为 ，连接 ． ①依题意将图2补全． ②小明通过观察和实验，提出猜想：在点 运动的过程中，始终有 为等腰直角三角形，他把这个猜想与同学们进行交流，通过讨论，形成以下证明猜想的思路：要想证明 为等腰直角三角形，只需证 ． 请参考上面的思路，帮助小明证明△APM 为等腰直角三角形． 答案： 解：∵ ΔABC 为等腰直角三角形， ∴ ∠B=45° ∴ ∠APC=∠BAP+∠B=65° ∵ AP=AQ ． ∴ ∠AQB=∠APC=65° ； 解：①补全图形，如图所示， ②证明：如图，连接 CM ． ∵ ΔABC 为等腰直角三角形， ∴ ∠B=∠ACB,∠BAC=90∘ 又∵ AP=AQ ， ∴ ∠APQ=∠AQB ． ∴ ∠APB=∠AQC ． ∴△APB≌△AQC（AAS） ∴ ∠1=∠2 ， 又 ∵∠BAC=∠PAC+∠1=90∘,∠PAM=∠PAC+∠3 ． ∠PAM=∠BAC=90∘ 又∵ AP=AQ,AM=AQ ， ∴ AP=AM ∴ ΔPAM 为等腰直角三角形.

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