题目

如图，四边形ABCD内接于⊙O ， AB=AC ， BD⊥AC ， 垂足为E ， 点F在BD的延长线上，且DF=DC ， 连接AF、CF. （1） 求证：∠BAC=2∠DAC； （2） 若AF＝10，BC＝4 ，求tan∠BAD的值. 答案： 证明：∵AB＝AC， ∴ AB⌢ = AC⌢ ，∠ABC＝∠ACB， ∴∠ABC＝∠ADB，∠ABC＝ 12 （180°−∠BAC）＝90°− 12 ∠BAC， ∵BD⊥AC， ∴∠ADB＝90°−∠DAC， ∴ 12 ∠BAC＝∠DAC， ∴∠BAC＝2∠DAC； 解：∵DF=DC， ∴∠BFC= 12 ∠BDC= 12 ∠BAC=∠FBC, ∴CB=CF, 又BD⊥AC， ∴AC是线段BF的中垂线，AB= AF=10, AC=10. 又BC＝4 5 ， 设AE＝x, CE=10－x, AB2－AE2=BC2－CE2, 100－x2=80－(10－x)2, x=6 ∴AE=6,BE=8,CE=4, ∴DE= AE⋅CEBE = 6×48 =3, ∴BD＝BE＋DE＝3＋8＝11， 作DH⊥AB，垂足为H， ∵ 12 AB•DH＝ 12 BD•AE， ∴DH＝ BD•AEAB=11×610=335 ， ∴BH＝ BD2−DH2=445 ， ∴AH＝AB−BH＝10− 445=65 ， ∴tan∠BAD= DHAH = 336 = 112 .

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