题目

定义：如图1，点M，N把线段AB分割成AM，MN和BN，若以AM，MN，BN为边的三角形是一个直角三角形，则称点M，N是线段AB的勾股分割点 （1） 已知点M，N是线段AB的勾股分割点，若AM=3，MN=4求BN的长； （2） 已知点C是线段AB上的一定点，其位置如图2所示，请在BC上画一点D，使C，D是线段AB的勾股分割点（要求尺规作图，保留作图痕迹，画出一种情形即可） （3） 如图3，正方形ABCD中，M，N分别在BC，DC上，且BM≠DN，∠MAN=45°，AM，AN分别交BD于E，F求证：①E、F是线段BD的勾股分割点；②△AMN的面积是△AEF面积的两倍． 答案： 解：解：（1）①当MN为最大线段时，∵点M，N是线段AB的勾股分割点，∴BM= MN2−AM2 = 42−32 = 7 ，②当BN为最大线段时，∵点M，N是线段AB的勾股分割点，∴BN= MN2+AM2 = 42+32 =5，综上，BN= 7 或5； 解：作法：①在AB上截取CE=CA；②作AE的垂直平分线，并截取CF=CA；③连接BF，并作BF的垂直平分线，交AB于D；点D即为所求；如图2所示． 解：①如图3中，将△ADF绕点A顺时针旋转90°得到△ABH，连接HE．∵∠DAF+∠BAE=90°﹣∠EAF=45°，∠DAF=∠BAE，∴∠EAH=∠EAF=45°，∵EA=EA，AH=AD，∴△EAH≌△EAF，∴EF=HE，∵∠ABH=∠ADF=45°=∠ABD，∴∠HBE=90°，在Rt△BHE中，HE2=BH2+BE2，∵BH=DF，EF=HE，∵EF2=BE2+DF2，∴E、F是线段BD的勾股分割点．②证明：如图4中，连接FM，EN．∵四边形ABCD是正方形，∴∠ADC=90°，∠BDC=∠ADB=45°，∵∠MAN=45°，∴∠EAN=∠EDN，∵∠AFE=∠FDN，∴△AFE∽△DFN，∴∠AEF=∠DNF， AFDF = EFFN ，∴ AFEF = DFFN ，∵∠AFD=∠EFN，∴△AFD∽△EFN，∴∠DAF=∠FEN，∵∠DAF+∠DNF=90°，∴∠AEF+∠FEN=90°，∴∠AEN=90°∴△AEN是等腰直角三角形，同理△AFM是等腰直角三角形；∵△AEN是等腰直角三角形，同理△AFM是等腰直角三角形，∴AM= 2 AF，AN= 2 AE，∵S△AMN= 12 AM•AN•sin45°，S△AEF= 12 AE•AF•sin45°，∴ S△AMNS△AEF = 12AM⋅AN⋅sin45°12AE⋅AF⋅sin45° =2，∴S△AMN=2S△AEF．

查看本题答案和解析