题目

在直角坐标系 中，曲线 的方程为 ． （1） 写出曲线 的一个参数方程； （2） 若 ， ，点 为曲线 上的动点，求 的取值范围． 答案： 解：由 x=−−y2+2y+3≤0 ，得 x2=−y2+2y+3 ， 整理得 x2+(y−1)2=4 ， x≤0 ， 所以曲线 C 的一个参数方程为 {x=2cosθy=1+2sinθ ( θ 为参数，且 π2≤θ≤3π2 )； 解：由（1）可设点P的坐标为 (2cosθ,1+2sinθ) ， π2≤θ≤3π2 . 因为 A(1,0) ， B(−1,0) ，所以 PA→=(1−2cosθ,−1−2sinθ) ， PB→=(−1−2cosθ,−1−2sinθ) ， OP→=(2cosθ,1+2sinθ),OA→=(1,0) , 所以 PA→⋅PB→=(1−2cosθ)(−1−2cosθ)+(−1−2sinθ)2=4+4sinθ ， OA→⋅OP→=2cosθ ， 所以 PA→⋅PB→+2OA→⋅OP→=4+4(sinθ+cosθ)=4+42sin(θ+π4) . 因为 π2≤θ≤3π2 ，即 3π4≤θ+π4≤7π4 ， 所以当 θ+π4=3π4 时， sin(θ+π4) 最大为 22 ，当 θ+π4=3π2 时， sin(θ+π4) 最小为 −1 ， 即 −1≤sin(θ+π4)≤22 ，故 4−42≤4+42sin(θ+π4)≤8 ， 故 PA→⋅PB→+2OA→⋅OP→ 的取值范围是 [4−42,8] .

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