题目

目前，中国已经建成全球最大的5G网络，无论是大山深处还是广袤平原，处处都能见到5G基站的身影.如图，某同学在一条水平公路上观测对面山项上的一座5G基站AB，已知基站高 ，该同学眼高1.5m（眼睛到地面的距离），该同学在初始位置C处（眼睛所在位置）测得基站底部B的仰角为37°，测得基站顶端A的仰角为45°. 参考数据： ， ， ， . （1） 求出山高BE（结果保留整数）； （2） 如图，当该同学面向基站AB前行时（保持在同一铅垂面内），记该同学所在位置M处（眼睛所在位置）到基站AB所在直线的距离 ，且记在M处观测基站底部B的仰角为 ，观测基站顶端A的仰角为 .试问当 多大时，观测基站的视角 最大? 答案： 解：由题知 ∠ACB=8∘,∠BAC=45∘ ， 在 △ABC 中，由正弦定理得 ABsin∠ACB=BCsin∠BAC ，即 50sin8∘=BCsin45∘ ， 所以 BC≈50×0.70.14=250 在 Rt△BDC 中， sin∠BCD=BDBC ，即 sin37∘=BD250 ， 所以 BD≈250×0.6=150 ， 所以山高 BE=BD+DE=150+1.5=151.5≈152 m 解：由题知 ∠AMD=β ， ∠BMD=α ，则 在 Rt△BMD 中， tanα=BDMD=150x 在 Rt△AMD 中， tanβ=ADMD=200x 由题知 ∠AMB=β−α ，则 tan∠AMB=tan(β−α)=tanβ−tanα1+tanαtanβ =200x−150x1+200x⋅150x=50xx2+30000   =50x+30000x ≤502x⋅30000x=502003=312 当且仅当 x=30000x 即 x=1003 m时， tan∠ACB 取得最大值，即视角最大

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