题目

如图，为了测量山坡上一棵树PQ的高度，小明在点A处利用测角仪测得树顶P的仰角为45°，然后他沿着正对树PQ的方向前进10m到达点B处，此时测得树顶P和树底Q的仰角分别是60°和30°. （1） 说明 ； （2） 求树PQ的高度（结果不取近似值，保留根号）. 答案： 解：如图，延长PQ交直线AB于点C， 依题可得：∠A=45°，∠PBC=60°，∠QBC=30°，AB=10m， 在Rt△PBC中， ∵∠PBC=60°，∠PCB=90°， ∴∠BPQ=30°， ∵∠PBQ=∠PBC-∠QBC=30°， ∴∠BPQ=∠PBQ， ∴BQ=PQ； 解：设CQ=x，在Rt△QBC中， ∵∠QBC=30°，∠QCB=90°， ∴BQ=2x，BC= 3 x， ∴PQ=BQ=2x， ∴PC=PQ+QC=3x，AC=AB+BC=10+ 3 x， 又∵∠A=45°， ∴AC=PC，即3x=10+ 3 x， 解得：x= 5×(3+3)3 ， ∴PQ=2x= 10×(3+3)3 ≈15.8（m）， 答：树PQ的高度约为15.8m.

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