题目

已知抛物线 的焦点为 ，点 满足 . （1） 求抛物线的方程； （2） 过点 的直线 交抛物线于 两点，当 时，求直线 的方程. 答案： 解：由条件易知 P(p,2p) 在抛物线 y2=2px 上， |PF|=xp+p2=3p2=3 ，                                          故 p=2 ，即抛物线的方程为 y2=4x 解：易知直线 l 斜率必存在，设 l:y=k(x+1) ， A(x1,y1) ， B(x2,y2) ， |FA|=3|FB|⇒x1+1=3(x2+1) ①， 联立 {y2=4xy=k(x+1) 得 k2(x+1)2=4x 即 k2x2+(2k2−4)x+k2=0 ， 由 Δ=16−16k2>0 得 k2<1 ，且 x1+x2=−2k2−4k2 ②， x1x2=1 ③， 由①②③得 k2=34<1 ，即直线 l:y=±32(x+1) .

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