题目

等比数列 的各项均为正数， 成等差数列，且满足 ，数列 的前 项和 ，且 （1） 求数列 和 的通项公式; . （2） 设 ，求证: 答案： 解：设等比数列 {an} 的公比为 q ， 依题意，有 2a4=2a5+ 4a6 ， 所以 a4=a4q+2a4q2 因为 an>0 , 所以 q>0 ，且 2q2+q−1=0 ，解得 q=12 或 q=−1 (舍)， 因为 a4=4a32=4a2a4 所以 a2=14 所以 a1=12 所以数列 {an} 的通项公式为 an=(12)n(n∈N*) 当 n≥2 时， bn=Sn−Sn−1=(n+1)bn2−nbn−12 整理得 (n−1)bn= nbn−1 ,即 bnn=bn−1n−1(n≥2) 所以数列 {bnn} 是首项为 b11=1 的常数列. 所以 bnn=1 ，即 bn=n(n∈N*) ， 所以数列 {bn} 的通项公式为 bn =n(n∈N*) . 解：由(1)，得 cn=b2n+5b2n+1b2n+3an=2n+5(2n+1)(2n+3)⋅12n=(22n+1−12n+3)⋅12n =1(2n+1)⋅2n−1−1(2n+3)⋅2n 所以 ∑k=1nck=(13⋅20−15⋅21)+(15⋅21−17⋅22) +⋯+(1(2n+1)⋅2n−1−1(2n+3)⋅2n) =13−1(2n+3)⋅2n<13

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