题目

已知：在△ABC外分别以AB，AC为边作△AEB与△AFC. （1）如图1，△AEB与△AFC分别是以AB，AC为斜边的等腰直角三角形，连接EF.以EF为直角边构造Rt△EFG，且EF＝FG，连接BG，CG，EC. 求证：①△AEF≌△CGF；②四边形BGCE是平行四边形. （2）小明受到图1的启发做了进一步探究：如图2，在△ABC外分别以AB，AC为斜边作Rt△AEB与Rt△AFC，并使∠FAC＝∠EAB＝30°，取BC的中点D，连接DE，EF后发现，两者间存在一定的数量关系且夹角度数一定，请你帮助小明求出的值及∠DEF的度数. （3）小颖受到启发也做了探究：如图3，在△ABC外分别以AB，AC为底边作等腰三角形AEB和等腰三角形AFC，并使∠CAF+∠EAB＝90°，取BC的中点D，连接DE，EF后发现，当给定∠EAB＝α时，两者间也存在一定的数量关系且夹角度数一定，若AE＝m，AB＝n，请你帮助小颖用含m，n的代数式直接写出的值，并用含α的代数式直接表示∠DEF的度数. 答案：解：证明：①如图1中， ∵△EFC与△AFC都是等腰直角三角形， ∴FA＝FC，FE＝FG，∠AFC＝∠EFG＝90°， ∴∠AFE＝∠CFG， ∴△AFE≌△CFG（SAS）. ②∵△AFE≌△CFG， ∴AE＝CG，∠AEF＝∠CGF， ∵△AEB是等腰直角三角形， ∴AE＝BE，∠BEA＝90°， ∴CG＝BE， ∵△EFG是等腰直角三角形， ∴∠FEG＝∠FGE＝45°， ∴∠AEF+∠BEG＝45°， ∵∠CGE+∠CGF＝45°， ∴∠BEG＝∠CGE， ∴BE∥CG， ∴四边形BECG是平行四边形解：如图2中，延长ED到G，使得DG＝ED，连接CG，FG. ∵点D是BC的中点， ∴BD＝CD， ∵∠EDB＝∠GDC， ∴EB＝GC，∠EBD＝∠GCD，在Rt△AEB与Rt△AFC中， ∵∠EAB＝∠FAC＝30°， ∴ EBAE=33 ， FCAF=33 ， ∴ CGAE=FCAF ， ∵∠EBD＝∠2+60°， ∴∠DCG＝∠2+60°， ∴∠GCF＝360°﹣60°﹣（∠2+60°）﹣∠3 ＝360°﹣120°﹣（∠2+∠3）＝360°﹣120°﹣（180°﹣∠1）＝60°+∠1， ∵∠EAF＝30°+∠1+30°＝60°+∠1， ∴∠GCF＝∠EAF， ∴△CGF∽△AEF， ∴ FGFE=FCFA=33 ，∠CFG＝∠AFE， ∴∠EFG＝∠CFG+∠EFC＝∠AFE+∠EFC＝90°， ∴tan∠DEF＝ FGFE=33 ， ∴∠DEF＝30°， ∴FG＝ 12 EG， ∵ED＝ 12 EG， ∴ED＝FG， ∴ EDEF=33 解：如图3中，延长ED到G，使得DG＝ED，连接CG，FG.作EH⊥AB于H，连接FD. ∵BD＝DC，∠BDE＝∠CDG，DE＝DG， ∴△CDG≌△BDE（SAS）， ∴CG＝BE＝AE，∠DCG＝∠DBE＝α+∠ABC， ∵∠GCF＝360°﹣∠DCG﹣∠ACB﹣∠ACF＝360°﹣（α+∠ABC）﹣∠ACB﹣（90°﹣α）＝270°﹣（∠ABC+∠ACB）＝270°﹣（180°﹣∠BAC）＝90°+∠BAC＝∠EAF， ∴△EAF≌△GCF（SAS）， ∴EF＝GF，∠AFE＝∠CFG， ∴∠AFC＝∠EFC， ∴∠DEF＝∠CAF＝90°﹣α， ∵∠AEH＝90°﹣α， ∴∠AEH＝∠DEF， ∵AE＝m，AH＝ 12 AB＝ 12 n， ∴EH＝ AE2−AH2=m2−14n2=4m2−n22 ， ∵DE＝DG，EF＝GF， ∴DF⊥EG， cos∠DEF=cos∠AEH=EHAE=4m2−n22m=4m2−n22m .

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