题目

如图，抛物线 过 ， ， 三点，边长为4的正方形 的顶点 ， 分别在 轴上， 轴上. （1） 求抛物线解析式，并直接写出当 时 的最大值与最小值的差. （2） 将正方形 向右平移，平移距离记为 . ①当点 首次落在抛物线上，求 的值. ②当抛物线落在正方形内的部分，满足 随 的增大而减小时，请直接写出 的取值范围. 答案： 解：由题意得： {a+b+c=09a+3b+c=0c=6 ，解得 {a=2b=−8c=6 ， 故抛物线的表达式为 y=2x2−8x+6 ， 由抛物线的表达式知，其顶点坐标为 (2，−2) ， 当 x=−1 时， y=2x2−8x+6=16 ， 故当 −1≤x≤4 时， x=−1 时， y 取得最大值16，而在顶点处取得最小值 −2 ， ∴y 的最大值与最小值的差为 16−(−2)=18 解：①当点 C 首次落在抛物线上，则 yC=4=2x2−8x+6 ，解得 x=2±3 ， 由于点C首次落在抛物线上，则 h=x=2−3 ； ②当点 C 首次落在抛物线上， h=2−3 ，当 h>2−3 时，抛物线落在正方形内的部分，满足 y 随 x 的增大而减小， 当 h=3 时，即正方形运动到点 (3，0) 处，此时抛物线落在正方形内的部分，满足 y 随 x 的增大而减小， 当 h>3 时，对称轴右侧的抛物线进入正方形内，即满足 y 随 x 的增大而减小，故 h≤3 ； 故 2−3<h≤3

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