题目

如图，直线与x轴交于点A（3，0），与y轴交于点B，抛物线经过点A，B. （1）求点B的坐标和抛物线的表达式；（2） P（x1 ， y1），Q（4，y2）两点均在该抛物线上，若y1≥y2 ，求P点的横坐标x1的取值范围；（3）点M为直线AB上一动点，将点M沿与y轴平行的方向平移一个单位长度得到点N，若线段MN与抛物线只有一个公共点，直接写出点M的横坐标的取值范围. 答案：解：∵直线y=−23x+a与x轴交于点A（3，0），∴0=−23×3+a，解得a=2，∴直线y=−23x+2，∵直线y=−23x+2，与y轴交于点B，∴x=0，y=2，∴点B（0，2），∵抛物线y=−43x2+bx+c经过点A（3，0），点B（0，2），∴{c=2−43×9+3b+c=0，解得：{c=2b=103，∴抛物线y=−43x2+103x+2；解：Q（4，y2）两点均在该抛物线上，∴y2=−43×16+103×4+2=−643+403+2=−6；当y=-6时，−43x2+103x+2=−6，因式分解得(2x+3)(x−4)=0解得x=−32或x=4，∴（−32，-6），Q（4，-6），∵a=−43＜0，抛物线开口向下，在对称轴左侧，y随x的增大而增大，在对称轴的右侧，y随x的增大而减小，∵y1≥y2，∴P点的横坐标x1的取值范围−32＜x1＜4；解：点M的横坐标的取值范围3−232≤x≤3−62或3+62≤x≤3+232.

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