题目

如图，直线y＝﹣2x+4交x轴于点A，交y轴于点B，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）经过点A、E，点E的坐标是（5，3），抛物线交x轴于另一点C（6，0）. （1） 求抛物线的解析式. （2） 设抛物线的顶点为D，连接BD，AD，CD，动点P在BD上以每秒2个单位长度的速度由点B向点D运动，同时动点Q在线段CA上以每秒3个单位长度的速度由点C向点A运动，当其中一个点到达终点停止运动时，另一个点也随之停止运动，设运动时间为t秒，PQ交线段AD于点H. ①当∠DPH＝∠CAD时，求t的值； ②过点H作HM⊥BD，垂足为点M，过点P作PN⊥BD交线段AB于点N.在点P、Q的运动过程中，是否存在以点P，N，H，M为顶点的四边形是矩形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由. 答案： 解：在直线 y=−2x+4 中， 令 x=0 时， y=4 ， ∴点B坐标（0，4）， 令 y=0 时，得： −2x+4=0 ， 解得： x=2 ， ∴点A（2，0）， ∵抛物线经过点A（2，0），C（6，0），E（5，3）， ∴可设抛物线解析式为 y=a(x−2)(x−6) ， 将E（5，3）代入，得： 3=a(5−2)(5−6) ， 解得： a=−1 ， ∴抛物线解析式为： y=−(x−2)(x−6)=−x2+8x−12 解：①∵抛物线解析式为： y=−x2+8x−12=−(x−4)2+4 ， ∴顶点D（4，4）， ∵点B坐标（0，4）， ∴ BD//OC ， BD=4 ， ∵ y=−x2+8x−12 与x轴交于点A，点C， ∴点C（6，0），点A（2，0）， ∴ AC=4 ， ∵点D（4，4），点C（6，0），点A（2，0）， ∴ AD=CD= 25 ， ∴ ∠DAC=∠DCA ， ∵ BD//AC ， ∴ ∠DPH=∠PQA ， 且 ∠DPH=∠DAC ， ∴ ∠PQA=∠DAC ， ∴∠PQA=∠DCA ∴ PQ//DC ，且 BD//AC ， ∴四边形 PDCQ 是平行四边形， ∴ PD=QC ， ∴ 4−2t=3t ， ∴ t=45 ； ②存在以点P，N，H，M为顶点的四边形是矩形，此时 t=1 −55 . 如图，若点N在AB上时， 则0≤t≤1 ， ∵BD//OC， ∴∠DBA＝∠OAB ， ∵点B坐标（0，4），A（2，0），点D（4，4）， ∴ AB＝AD＝2 5 ， OA＝2 ， OB＝4 ， ∴ ∠ABD＝∠ADB ， ∴tan∠OAB =OBOA=42= tan∠DBA =PNBP ， ∴ PN＝2BP＝4t ， ∴当 MH＝PN＝4t 时，四边形 PNHM 是矩形， ∵ tan∠ADB=tan∠ABD =MHMD= 2， ∴ MD＝2t ， ∴ DH =MD2+MH2= 25t ， ∴ AH＝AD﹣DH＝ 25− 25t ， ∵ BD//OC ， ∴ PDAQ=DHAH ， ∴ 4−2t4−3t=25t25−25t ， ∴ 5t2﹣10t+4＝0 ， ∴ t1＝1+55 （舍去）， t2＝1−55 ； 若点N在AD上，即 1≤t≤ 43 ， ∵ MH＝PN ， ∴点E、N重合，此时以点P，N，H，M为顶点的矩形不存在， 综上所述：当以点P，N，H，M为顶点的四边形是矩形时，t的值为1 −55 .

查看本题答案和解析