题目

已知函数 ． （1） 若关于 的方程 只有一个实数解，求实数a的取值范围； （2） 若当 时，不等式 恒成立，求实数a的取值范围； （3） 探究函数 在区间 上的最大值（直接写出结果，不需给出演算步骤）． 答案： 解：方程 |f(x)|=g(x) ，即 |x2−1|=a|x−1| ，变形得 |x−1|(|x+1|−a)=0 ， 显然， x=1 已是该方程的根，从而欲使原方程只有一解， 即要求方程 |x+1|=a 有且仅有一个等于1的解或无解， 结合图形得 a<0 . 解：不等式 f(x)≥g(x) 对 x∈R 恒成立，即 (x2−1)≥a|x−1| （*）对 x∈R 恒成立， ①当 x=1 时，（*）显然成立，此时 a∈R ； ②当 x≠1 时，（*）可变形为 a≤x2−1|x−1| ，令 φ(x)=x2−1|x−1|={x+1,(x>1),−(x+1),(x<1). 因为当 x>1 时， φ(x)>2 ，当 x<1 时， φ(x)>−2 ， 所以 φ(x)>−2 ，故此时 a≤−2 . 综合①②，得所求实数 a 的取值范围是 a≤−2 解：因为 h(x)=|f(x)|+g(x)=|x2−1|+a|x−1| = {x2+ax−a−1,(x≥1),−x2−ax+a+1,(−1≤x<1),x2−ax+a−1,(x<−1). ①当 a2>1,即a>2 时，结合图形可知 h(x) 在 [−2,1] 上递减，在 [1,2] 上递增， 且 h(−2)=3a+3,h(2)=a+3 ，经比较，此时 h(x) 在 [−2,2] 上的最大值为 3a+3 . ②当 0≤a2≤1,即0≤a≤2 时，结合图形可知 h(x) 在 [−2,−1] ， [−a2,1] 上递减， 在 [−1,−a2] ， [1,2] 上递增，且 h(−2)=3a+3,h(2)=a+3 ， h(−a2)=a24+a+1 ， 经比较，知此时 h(x) 在 [−2,2] 上的最大值为 3a+3 . ③当 −1≤a2<0,即−2≤a<0 时，结合图形可知 h(x) 在 [−2,−1] ， [−a2,1] 上递减， 在 [−1,−a2] ， [1,2] 上递增，且 h(−2)=3a+3,h(2)=a+3 ， h(−a2)=a24+a+1 ， 经比较，知此时 h(x) 在 [−2,2] 上的最大值为 a+3 . ④当 −32≤a2<−1,即−3≤a<−2 时，结合图形可知 h(x) 在 [−2,a2] ， [1,−a2] 上递减， 在 [a2,1] ， [−a2,2] 上递增，且 h(−2)=3a+3<0 , h(2)=a+3≥0 ， 经比较，知此时 h(x) 在 [−2,2] 上的最大值为 a+3 . 当 a2<−32,即a<−3 时，结合图形可知 h(x) 在 [−2,1] 上递减，在 [1,2] 上递增， 故此时 h(x) 在 [−2,2] 上的最大值为 h(1)=0 . 综上所述，当 a≥0 时， h(x) 在 [−2,2] 上的最大值为 3a+3 ； 当 −3≤a<0 时， h(x) 在 [−2,2] 上的最大值为 a+3 ； 当 a<−3 时， h(x) 在 [−2,2] 上的最大值为0

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