题目

如图，在△ABC中，∠C=90°，以BC为直径的⊙O交AB于点D，⊙O的切线DE交AC于点E. （1） 求证：E是AC中点； （2） 若AB=10，BC=6，连接CD，OE，交点为F，求OF的长. 答案： 证明：连接CD， ∵∠ACB=90°，BC为⊙O直径， ∴ED为⊙O切线，且∠ADC=90°； ∵ED切⊙O于点D， ∴EC=ED， ∴∠ECD=∠EDC； ∵∠A+∠ECD=∠ADE+∠EDC=90°， ∴∠A=∠ADE， ∴AE=ED， ∴AE=CE， 即E为AC的中点； ∴BE=CE； 解：连接OD， ∵∠ACB=90°， ∴AC为⊙O的切线， ∵DE是⊙O的切线， ∴EO平分∠CED， ∴OE⊥CD，F为CD的中点， ∵点E、O分别为AC、BC的中点， ∴OE= 12 AB= 12×10 =5， 在Rt△ACB中，∠ACB=90°，AB=10，BC=6，由勾股定理得：AC=8， ∵在Rt△ADC中，E为AC的中点， ∴DE= 12 AC= 12×8 =4， 在Rt△EDO中，OD= 12 BC= 12×6 =3，DE=4，由勾股定理得：OE=5， 由三角形的面积公式得：S△EDO= 12×DE×DO=12×OE×DF ， 即4×3=5×DF， 解得：DF=2.4， 在Rt△DFO中，由勾股定理得：OF= DO2−DF2 = 32−2.42 =1.8.

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