题目

已知椭圆 的离心率为 ，且 . （1） 求椭圆 的方程； （2） 已知点 为椭圆 的左､右顶点，点 为椭圆 上不同于A､ 的任一点，在抛物线 上存在两点 ，使得四边形 为平行四边形，求 的最小值. 答案： 解：由题意得： {e=ca=32ab=2a2=b2+c2 ，解得 {a=2b=1c=3 ∴C1:x24+y2=1 由（1）知 A(2,0) ，设 Q(x1,y1) ， R(x2,y2) ， P(x3,y3) ， 连接 AP,QR 设交于 D(x0,y0) ∵ 四边形 AQPR 为平行四边形， ∴ D 为 AP,QR 的中点且 QR 与 x 轴既不垂直也不平行， 设 QR:y=kx+m(k≠0) ， QR 与 C2 联立消 y 得 k2x2+2(km−p)x+m2=0 （*） 则 x1,x2 是（*）的二根， ∴{x1+x2=2(km−p)k2x1x2=m2k2 ，且 Δ=4(km−p)2−4k2m2>0 ，即 −2km+p>0 ① ∴x0=x1+x22=−km−pk2 ， y0=kx0+m=pk ， ∵x0=x3+22 ， y0=y32 ∴ 得 x3=2x0−2=−2(km−p)k2−2 ， y3=2y0=2pk ∴P(−2(km−p)k2−2,2pk) ∵ 点 P 在曲线 C1 上，代入可得 [−2(km−p)k2−2]24+(2pk)2=1 ， 即 (km−pk2+1)2+(2pk)2=1 令 {2pk=sinθ②km−pk2+1=cosθ③ ，其中 θ≠kπ,k∈Z 由②得 k=2psinθ 代入③得 km=p−4p21+cosθ 代入①得 −2km+p=−2p+8p21+cosθ+p>0 解得 p>1+cosθ8 ∵sinθ≠0 ， ∴cosθ<1 ， ∴1+cosθ8<14 ， ∴p≥14 ∴p 的最小值为 14 .

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