题目

如图，已知AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点（不与A、B重合），D为的 中点，过点D作弦DE⊥AB于F，P是BA延长线上一点，且∠PEA＝∠B. （1） 求证：PE是⊙O的切线； （2） 连接CA与DE相交于点G，CA的延长线交PE于H，求证：HE＝HG； （3） 若tan∠P＝ ，试求 的值. 答案： 解：如图1，连接OE， ∵AB是⊙O的直径， ∴∠AEB＝90°， ∴∠EAB+∠B＝90°， ∵OA＝OE， ∴∠OAE＝∠AEO， ∴∠B+∠AEO＝90°， ∵∠PEA＝∠B， ∴∠PEA+∠AEO＝90°， ∴∠PEO＝90°， 又∵OE为半径， ∴PE是⊙O的切线； 解：如图2，连接OD， ∵D为 AC⌢ 的中点， ∴OD⊥AC，设垂足为M， ∴∠AMO＝90°， ∵DE⊥AB， ∴∠AFD＝90°， ∴∠AOD+∠OAM＝∠OAM+∠AGF＝90°， ∴∠AOD＝∠AGF， ∵∠AEB＝∠EFB＝90°， ∴∠B＝∠AEF， ∵∠PEA＝∠B， ∴∠PEF＝2∠B， ∵DE⊥AB， ∴ AE⌢=AD⌢ ， ∴∠AOD＝2∠B， ∴∠PEF＝∠AOD＝∠AGF， ∴HE＝HG； 解：如图3， ∵∠PEF＝∠AOD，∠PFE＝∠DFO， ∴∠P＝∠ODF， ∴tan∠P＝tan∠ODF＝ OFDF=512 ， 设OF＝5x，则DF＝12x， ∴OD＝ OF2+DF2 ＝13x， ∴BF＝OF+OB＝5x+13x＝18x，AF＝OA﹣OF＝13x﹣5x＝8x， ∵DE⊥OA， ∴EF＝DF＝12x， ∴AE＝ AF2+EF2 ＝4 13 x，BE＝ EF2+BF2 ＝6 13 x， ∵∠PEA＝∠B，∠EPA＝∠BPE， ∴△PEA∽△PBE， ∴ PAPE=AEBE=413613=23 ， ∵∠P+∠PEF＝∠FAG+∠AGF＝90°， ∴∠HEG＝∠HGE， ∴∠P＝∠FAG， 又∵∠FAG＝∠PAH， ∴∠P＝∠PAH， ∴PH＝AH， 过点H作HK⊥PA于点K， ∴PK＝AK， ∴ PKPE=13 ， ∵tan∠P＝ 512 ， 设HK＝5a，PK＝12a， ∴PH＝13a， ∴AH＝13a，PE＝36a， ∴HE＝HG＝36a﹣13a＝23a， ∴AG＝GH﹣AH＝23a﹣13a＝10a， ∴ AHAG=13a10a=1310 .

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