题目

如图（问题情境）如图1，四边形ABCD是正方形，M是BC边上的一点，E是CD边的中点，AE平分∠DAM．（探究展示）（1）请你判断AM，AD，MC三条线段的数量关系，并说明理由；（2） AM = DE + BM是否成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．（3）若四边形ABCD是长与宽不相等的矩形，其他条件不变，如图2，探究展示（1）、（2）中的结论是否仍然成立？请分别作出判断，不需要证明．答案：解：AM=AD+MC．理由如下：如图1（1）所示，分别延长AE，BC交于点N， ∵四边形ABCD是正方形， ∴AD // BC， ∴∠DAE=∠ENC， ∵AE平分∠DAM， ∴∠DAE=∠MAE， ∴∠ENC=∠MAE， ∴MA=MN， ∵E是CD的中点， ∴DE=CE，在 △ ADE与 △ NCE中， {∠DAE=∠ENC∠AED=∠NECDE=CE ∴ △ ADE≌ △ NCE（AAS）， ∴AD=NC， ∵MN=NC+MC， ∴AM=AD+MC 解：AM=DE+BM成立．理由如下：如图1（2）所示，将 △ ADE绕点A顺时针旋转90°，得到 △ ABF， ∵四边形ABCD是正方形， ∴AB // DC，∠D=∠ABM=90°， ∴∠AED=∠BAE， ∵旋转， ∴∠F=∠AED，∠FAB=∠EAD，BF=ED，∠D=∠ABF=90°， ∴∠ABM＋∠ABF=180°， ∴点F、B、M在同一直线上， ∵AE平分∠DAM， ∴∠DAE=∠MAE， ∴∠BAF=∠MAE， ∵∠BAE=∠BAM+∠MAE， ∴∠AED=∠BAM+∠BAF=∠FAM， ∴∠F=∠FAM， ∴AM=FM， ∵FM=BF+BM ∴AM=DE+BM （拓展延伸）解：①结论AM=AD+MC仍然成立；②结论 AM=DE+BM 不成立。

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