题目

如图，若△ABC内一点P满足∠PAC＝∠PBA＝∠PCB，则点P为△ABC的布洛卡点. （1） 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC=BC，P为△ABC的布洛卡点，且满足∠PAC＝∠PBA＝∠PCB. ①求∠APB的度数； ②若AC= ，求线段CP的长. （2） 在等腰三角形ABC中，AD⊥BC交BC边于点D， = ，P为△ABC的布洛卡点，求 的值. 答案： 解：①如图， ∵∠ ACB=90°，AC=BC ∴∠ CAB=∠CBA=45° ∵∠ PAC=∠PBA ∴∠ PAB=∠PBC ∵∠ PBC+∠PBA=45° ∴∠ PAB+∠PBA=45° ∴∠ APB=135° ②∵∠ PBA=∠PBC，∠PBA=∠PCB ∴ ΔPAB∼Δ∠PBC ∴ PAPB=PBPC=ABBC 在 RtΔABC 中，∠ CBA=45°， ∴ ABAC=2. ∴ PA=2PB ， PC=22PB. ∵∠ PBA=∠PCB，∠PBA+∠PBC=45° ∴∠ PBC+∠PCB=45° ∴∠ BPC=135° ∴∠ APC=360°−∠APB−∠BPC=90° ∴ PA2+PC2=AC2 ∴ (2PB)2+(22PB)2=10 ∴ PB=2 ∴ PC=2. 解：当 AB=AC 时，如图， ∴∠ ABC=∠ACB ∵∠ PBA=∠PCB ∴∠ PBC=∠PCA ∵∠ PCB=∠PAC ∴△ PBC∼ΔPCA ∴ PAPC=ACBC ∵ AB=AC，AD⊥BC ∴ BD=12BC ∵ ABAD=54 ∴设 AB=50. ，则 AD=4a ∴ BD=AB2−AD2=3a ∴ BC=6a ∴ PAPC=ACBC=56 ； 当 AB=BC 时，如图， ∴∠ BAC=∠BCA. ∵∠ PAC=∠PCB. ∴∠ PAB=∠PCA. ∵∠ PBA=∠PAC ∴△ PBA~ΔPAC ∴ PAPC=ABAC ∵ ABAD=54 ∴设 AB=5a ，则 AD=4a ∴ BD=3a. ∵ BC=AB=3a ∴ CD=2a. ∴ AC=AD2+CD2=25a ∴ PAPC=ABAC=5a25a=52 当 AC=BC 时，如图， ∴∠ CAB=∠CBA ∵∠ PBA=∠PAC ∴∠ PCB=∠PBA ∴△ PCB~ΔPBA ∴ PCPB=PBPA=BCAB ∵ ABAD=54 ∴设 AB=5a ，则 AD=4a ∴ BD=3a 设 AC=x ∴ Bc=x ∴ CD=x−3a 在 RtΔACD 中， AC2=AD2+CD2 ∴ x2=(4a)2+(x−3a)2 ∴ x=256a ∴ AC=BC=256a ∴ PCPB=BCAB=56a5a=56 又 PBPA=BCAB=56 ∴ PA=65PB ∴ PAPC=56PB65PB=2536 综上， PAPC 的值为： 56 或 52 或 2536

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