题目

如图1，平面内一定点A在直线MN的上方，点O为直线MN上一动点，作射线OA、OP、OA′，当点O在直线MN上运动时，始终保持∠MOP=90°、∠AOP=∠A′OP，将射线OA绕点O顺时针旋转60°得到射线OB （1） 如图1，当点O运动到使点A在射线OP的左侧，若OB平分∠A′OP，求∠AOP的度数． （2） 当点O运动到使点A在射线OP的左侧，∠AOM=3∠A′OB时，求 的值． （3） 当点O运动到某一时刻时，∠A′OB=150°，直接写出∠BOP=度． 答案： 解：由题意可得：∠AOB=60°，∠AOP=∠A′OP， ∵OB平分∠A′OP， ∴∠A′OP=2∠POB， ∴∠AOP=∠A′OP=2∠POB， ∴∠AOB=∠AOP+∠POB=3∠POB=60°， ∴∠POB=20°， ∴∠AOP=2∠POB=40° 解：①当点O运动到使点A在射线OP的左侧，且射线OB在在∠A′OP的内部时，如图1， 设∠A′OB=x，则∠AOM=3∠A′OB=3x，∠AOA′= 60+x ， ∵OP⊥MN， ∴∠AON=180°-3，∠AOP=90°-3x， ∴ ∠AON∠AOP=180°−3x90°−3x ， ∵∠AOP=∠A′OP， ∴∠AOP=∠A′OP= 60°+x2 ∴ 60+x2=90−3x ，解得： x=120°7 ， ∴ ∠AON∠AOP=180°−3×120°790°−3×120°7=900°7270°7=900°270°=103 ； ②当点O运动到使A在射线OP的左侧，但是射线OB在∠A′ON内部时，如图2， 设∠A′OB=x，则∠AOM=3x，∠AON= 180−3x ，∠AOA′= 60−x ， ∵∠AOP=∠A′OP， ∴∠AOP=∠A′OP= 60°−x2 ， ∵OP⊥MN， ∴∠AOP=90-∠AOM=90-3x， ∴ 60−x2=90−3x ，解得： x=24∘ ， ∴ ∠AON∠AOP=180°−3x90°−3x=180°−3×24°90°−24°=6  ； 【1】解：①如图3，当∠A′OB=150°时， 由图可得：∠A′OA=∠A′OB-∠AOB=150°-60°=90°， 又∵∠AOP=∠A′OP， ∴∠AOP=45°， ∴∠BOP=60°+45°=105°； ②如图4， 当∠A′OB=150°时，由图可得∠A′OA=360°-150°-60°=150°， 又∵∠AOP=∠A′OP， ∴∠AOP=75°， ∴∠BOP=60°+75°=135°； 综上所述：∠BOP的度数为105°或135°.

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