题目

设函数. （1）求函数的单调区间；（2）若函数在零点，证明：. 答案：【答案】（1）在上是增函数，在上是减函数； （2）.【解析】（1）先确定函数的定义域，然后求，进而根据导数与函数单调性的关系，判断函数 的单调区间；（2）采用分离参数法，得，根据在上存在零点，可知有解，构造，求导，知在上存在唯一的零点，即零点k满足，进而求得，再根据有解，得证（1）解：函数的定义域为， 因为，所以． 所以当时，，在上是增函数；当时，，在上是减函数． 所以在上是增函数，在上是减函数．（2）证明：由题意可得，当时，有解，即有解． 令，则． 设函数，所以在上单调递增．又，所以在上存在唯一的零点． 故在上存在唯一的零点．设此零点为，则．当时，；当时，．所以在上的最小值为．又由，可得，所以， 因为在上有解，所以，即．

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