题目

设复数 ， ， 其中. （1） 若复数为实数，求的值； （2） 求的取值范围． 答案： 解：由题意，z=z1¯⋅z2=(1+i)⋅(cosθ+isinθ)=(cosθ−sinθ)+(cosθ+sinθ)i若复数z=z1¯⋅z2为实数，则cosθ+sinθ=0故tanθ=−1，θ∈[0，π]解得：θ=3π4 解：由题意，z1=1−i，z2=cosθ+isinθ|z1+z2|=|(1−i)+cosθ+isinθ|=|(1+cosθ)+(−1+sinθ)i|=(1+cosθ)2+(−1+sinθ)2=3+2cosθ−2sinθ=3+22cos(θ+π4)由于θ∈[0，π]，故θ+π4∈[π4，5π4]故−1≤cos(θ+π4)≤22故2−1=3−22≤|z1+z2|≤5故|z1+z2|的取值范围是[2−1，5]

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