题目

已知抛物线的焦点为，过抛物线上一点作抛物线的切线交轴于点，交轴于点，当时，．（1）判断的形状，并求抛物线的方程；（2）若两点在抛物线上，且满足，其中点，若抛物线上存在异于的点，使得经过三点的圆和抛物线在点处有相同的切线，求点的坐标． 答案：【答案】（1）；（2）．【解析】试题分析：(1)设，则切线的方程为，且，令 ，可得 所以为等腰三角形，且为的中点，所以，又因，求得，由此即可求出 ，进而求出抛物线方程为； (2)由已知，得的坐标分别为，设，求出的中垂线方程和的中垂线方程为，联立，得圆心坐标为 ：，由，即可求出，进而求得点坐标．试题解析：(1)设，则切线的方程为，且，所以，，所以，所以为等腰三角形，且为的中点，所以，因为，所以，所以，得，所以抛物线方程为；(2)由已知，得的坐标分别为，设，的中垂线方程为，①的中垂线方程为，②联立①②，解得圆心坐标为 ：，由，得，因为，所以，所以点坐标为．

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