题目

已知 是关于 的方程 的两个根，且 . （1） 若 , ，求 的范围； （2） 若 .记 ，若存在 ，使不等式 在其定义域范围内恒成立，求 的取值范围. 答案： 解：由题 x2=ω+ω2+42=2−ω+ω2+4 在 ω∈(−∞,0] 上递增，   ∴x2∈(0,1] 解： x1,x2 是关于 x 的方程 x2−ωx+t=0 的两个不等根，且 x1,x2>0 ， 由韦达定理得 {ω=x1+x2t=x1x2Δ=ω2−4t>0 ， ∴ {ω>0t>0ω2≥4t ⇒ω>2t(t>0) f(t)=(1x1−x1)(1x2−x2)=1−(x12+x22)+(x1x2)2x1x2 =1+t2−[(x1+x2)2−2x1x2]t=1+t2−(ω2−2t)t =t+1−ω2t+2 ， t∈(0,ω24) ①若 ω24>1−ω2 ，则 {ω24>1−ω2f(1−ω2)>3 ⇒{ω>25−221−ω2>1 ⇒{ω>25−20<ω<32 ⇒ϕ ②若 ω24≤1−ω2 ，则 {ω24≤1−ω2f(ω24)≥3 ⇒{0<ω≤25−2ω24+4ω2≥5   ⇒{0<ω≤25−20<ω≤10−221或ω≥10−221   ⇒0<ω≤10−221=7−3 ∴ ω 的取值范围为 (0,7−3]

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