题目

在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线C：的焦点为F，过F的直线交抛物线C于A，B两点．（1）求线段AF的中点M的轨迹方程；（2）已知△AOB的面积是△BOF面积的3倍，求直线的方程． 答案：【答案】（1）；（2）【解析】（1）设线段AF的中点的坐标为，，即可求得，将它们代入即可得解。（2）设，由△AOB的面积是△BOF面积的3倍可得：直线的斜率存在，且的面积是面积的2倍，即可整理得：，设直线的方程为：，联立直线方程与抛物线方程可得：，，结合即可求得：，问题得解。（1）设线段AF的中点的坐标为，由抛物线的方程可得：焦点由中点坐标公式可得：即：又在抛物线上，所以，将代入上式可得：整理得：所以线段AF的中点M的轨迹方程为：（2）依据题意作出图形，如下：设，且与的取值一正、一负因为△AOB的面积是△BOF面积的3倍，所以直线的斜率存在，且的面积是面积的2倍，即：，整理得：设直线的方程为：联立直线与抛物线方程可得：，整理得：.所以，由解得：.所以直线的方程为：

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