题目

已知圆 ，圆心为点 ，点 是圆 内一个定点， 是圆上任意一点，线段 的垂直平分线 和半径 相交于点 在圆上运动. （1） 求动点 的轨迹 的方程; （2） 若 为曲线 上任意一点， |的最大值; （3） 经过点 且斜率为 的直线交曲线 于 两点在 轴上是否存在定点 ，使得 恒成立？若存在，求出点 坐标：若不存在，说明理由. 答案： 解：连接 MA ， ∵l 是线段 AP 的垂直平分线： ∴|MP|=|MA|∴|MC|+|MP|=|MA|+|MC|=r=23 ∴ 点 M 到两定点 C(−2,0),A(2,0) 距离之和为定值 23>|CA|=22 ， ∴ 点 M 的轨迹是以 C,A 两点为焦点，长轴长为 23 的椭圆， ∴a=3,b=1,c=2 ∴ 动点 M 的轨迹 N 的方程为 x23+y2=1 解： ∵B 为曲线 N 上任意一点， ∴|BC|+|BA|=23 ∴|BC|⋅|BA|≤(|BC|+|BA|)24=3 ，当且仅当 ∴|BC|=|BA|=3 时，等号成立 解：假设存在点 D(m,0) ，设 E(x1,y1),F(x2,y2) ，直线方程为 y=k（x−1） ，代入椭圆方程，得 (1+3k2)x2−6k2x+3k2−3=0 Δ=b2−4ac=36k4−4(1+3k2)(3k2−3)>0 ∴x1+x2=6k21+3k2,x1x2=3k2−31+3k2 由 ∠GDE=∠GDF⇒kDE+kDF=0 ∴y1x1−m+y2x2−m=0⇒(x1−m)y2+(x2−m)y1=0 ∴(x1−m)k(x2−1)+(x2−m)k(x1−1)=0 ∴k((x1−m)(x2−1)+(x2−m)(x1−1))=0 由于对任意 k 恒成立，因此 (x1−m)(x2−1)+(x2−m)(x1−1)=0 ∴2x1x2−(m+1)(x1+x2)+2m=0 恒成立 即 ∴23k2−31+3k2−(m+1)6k21+3k2+2m=0 恒成立 ∴2m−61+3k2=0 恒成立，因此 m=3 综上所述，存在点 D(3,0) 满足题意

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