题目

如图，已知矩形ABCD所在平面垂直于直角梯形ABPE所在平面于直线AB，且AB=BP=2，AD=AE=1，AE⊥AB，且AE∥BP． （1） 设点M为棱PD中点，求证：EM∥平面ABCD； （2） 线段PD上是否存在一点N，使得直线BN与平面PCD所成角的正弦值等于 ？若存在，试确定点N的位置；若不存在，请说明理由． 答案： 证明：∵平面ABCD⊥平面ABEP，平面ABCD∩平面ABEP=AB，BP⊥AB， ∴BP⊥平面ABCD，又AB⊥BC，∴直线BA，BP，BC两两垂直，以B为原点，分别以BA，BP，BC为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系．则P（0，2，0），B（0，0，0），D（2，0，1），E（2，1，0），C（0，0，1），∴M（1，1， 12 ），∴ EM→ =（﹣1，0， 12 ）， BP→ =（0，2，0）．∵BP⊥平面ABCD，∴ BP→ 为平面ABCD的一个法向量，∵ EM→⋅BP→ =﹣1×0+0×2+ 12×0 =0，∴ EM→ ⊥ BP→ ．又EM⊄平面ABCD，∴EM∥平面ABCD． 解：当点N与点D重合时，直线BN与平面PCD所成角的正弦值为 25 ． 理由如下：∵ PD→ =（2，﹣2，1）， CD→ =（2，0，0），设平面PCD的法向量为 n→ =（x，y，z），则 {n→⋅CD→=0n→⋅PD→=0 ．∴ {2x=02x−2y+z=0 ．令y=1，得 n→ =（0，1，2）．假设线段PD上存在一点N，使得直线BN与平面PCD所成角α的正弦值等于 25 ．设 PN→ =λ PD→ =（2λ，﹣2λ，λ）（0≤λ≤1），∴ BN→=BP→+PN→ =（2λ，2﹣2λ，λ）．∴cos＜ BN→,n→ ＞= BN→⋅n→|BN→|⋅|n→| = 259λ2−8λ+4 = 25 ．∴9λ2﹣8λ﹣1=0，解得λ=1或 λ=−19 （舍去）．∴当N点与D点重合时，直线BN与平面PCD所成角的正弦值等于 25 ．

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