题目

如图，四边形的四个顶点分别在反比例函数与的图象上，对角线轴，且于点．已知点的横坐标为4．（1）当m=4，n=20时． ①若点的纵坐标为2，求直线的函数表达式． ②若点是的中点，试判断四边形的形状，并说明理由．（2）四边形能否成为正方形？若能，求此时，之间的数量关系；若不能，试说明理由．答案：解：①如图1， ∵m=4 ， ∴ 反比例函数为 y=4x ，当 x=4 时， y=1 ， ∴B(4,1) ，当 y=2 时， ∴2=4x ， ∴x=2 ， ∴A(2,2) ，设直线 AB 的解析式为 y=kx+b ， ∴ {2k+b=24k+b=1 ， ∴ {k=−12b=3 ， ∴ 直线 AB 的解析式为 y=−12x+3 ②四边形 ABCD 是菱形，理由如下：如图2，由①知， B(4,1) ， ∵BD//y 轴， ∴D(4,5) ， ∵ 点 P 是线段 BD 的中点， ∴P(4,3) ，当 y=3 时，由 y=4x 得， x=43 ，由 y=20x 得， x=203 ， ∴PA=4−43=83 ， PC=203−4=83 ， ∴PA=PC ， ∵PB=PD ， ∴ 四边形 ABCD 为平行四边形， ∵BD⊥AC ， ∴ 四边形 ABCD 是菱形解：四边形 ABCD 能是正方形，理由：当四边形 ABCD 是正方形，记 AC ， BD 的交点为 P ， ∴BD=AC 当 x=4 时， y=mx=m4 ， y=nx=n4 ∴B(4,m4) ， D(4,n4) ， ∴P(4,m+n8) ， ∴A(8mm+n ， m+n8) ， C(8nm+n ， m+n8) ∵AC=BD ， ∴ 8nm+n−8mm+n=n4−m4 ， ∴m+n=32

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