题目

已知函数 ． （1） 求的解析式； （2） 若对任意 ， ， 不等式恒成立，求的取值范围． 答案： 解：令t=x+1，则x=t−1，则f(t)=(t−1)2+3(t−1)+1t=t−1t+1，故f(x)=x−1x+1． 解：由（1）可得f(x)=x−1x+1．因为函数y=x+1和函数y=−1x均在[12，2]上单调递增，所以f(x)在[12，2]上单调递增．故f(x)max=f(2)=52．对任意x∈[12，2]，a∈[0，1]，不等式f(x)<ma+m2+12恒成立，即对任意a∈[0，1]，不等式52<ma+m2+12恒成立，则{52<m2+12，52<m+m2+12，解得m>2或m<−2．故m的取值范围是(−∞，−2)∪(2，+∞)．

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