题目

如图，在 中， ，以 为直径的 分别与 交于点 ，过点 作 于点 . （1） 求证： 是 的切线； （2） 求证： ； （3） 若 ， ，求 的长. 答案： 证明：连接 OD . ∵AB=AC, OB=OO ∴∠ABC=∠C,∠ABC=∠ODB ∴∠ODB=∠C ∴AC//OD ∵DF⊥AC ∴DF⊥OD ∵OD 是 ⊙O 的直径， ∴DF 是 ⊙O 的切线 证明：连接 DE ， ∵A,B,C,E 四点共圆， ∴∠DEF=∠ABC ∵∠ABC=∠C ∴∠DEC=∠C, ∴EF=FC 解： ∵AB 为 ⊙O 的直径， ∴∠ADB=90° ∴AD⊥BC ∵AB=AC, ∴BD=CD ∵DF⊥AC, ∴∠DFC=90° 又 ∵∠C=∠C ∴ΔADC∽ΔDFC ∴ACCD=DCFC ， 即 DC2=AC⋅CF . 由（2）得： FC=EF=1 ， AC=AE+EF+FC=4 ， ∴DC=5 ， ∴BC=55 .

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