题目

将函数 的图象上所有点的横坐标缩短到原来的 倍（纵坐标不变），再将所得的图象向左平移 个单位长度后得到函数 的图象. （1） 写出函数 的解析式； （2） 若对任意   ， 恒成立，求实数 的取值范围； （3） 求实数 和正整数 ，使得 在 上恰有 个零点. 答案： 解：把函数 y=sinx 的图象上所有点的横坐标缩短到原来的 12 倍，得到函数 y=sin2x 的图象，再向左平移 π6 个单位长度后得到函数 f(x)=sin[2(x+π6)]=sin(2x+π3) 的图象， 故函数 f(x) 的解析式为 f(x)=sin(2x+π3) 解：若对于任意 x∈[−π6,π12] ，则 2x+π3∈[0,π2] ，所以 f(x)=sin(2x+π3)∈[0,1] ， 又由 f2(x)−mf(x)−1≤0 恒成立， 令 t=f(x)∈[0,1] ，则 g(t)=t2−mt−1≤0 恒成立， 则 g(0)=−1≤0,g(1)=−m≤0 ，解得 m≥0 . 解：因为 F(x)=f(x)−a 在 [0,nπ] 上恰有 2019 个零点， 故函数 f(x) 的图象与 y=a 在 [0,nπ] 上有2019个交点， 当 x∈[0,π] 时， 2x+π3∈[π3,7π3] ， ①当 a>1 或 a<−1 时，函数 f(x) 的图象与 y=a 在 [0,nπ] 上无交点； ②当 a=1 或 a=−1 时，函数 f(x) 的图象与 y=a 在 [0,π] 上仅有一个交点， 此时要使得函数 f(x) 的图象与 y=a 在 [0,nπ] 上有2019个交点，则 n=2019 ； ③当 −1<a<32 或 32<a<1 时，函数 f(x) 的图象与 y=a 在 [0,π] 上2个交点， 此时要使得函数 f(x) 的图象与 y=a 在 [0,nπ] 上的交点个数，不能是2019个； ④当 a=32 时，函数 f(x) 的图象与 y=a 在 [0,π] 上3个交点， 此时要使得函数 f(x) 的图象与 y=a 在 [0,nπ] 上有2019个交点，则 n=1009 ； 综上可得，当 a=1 或 a=−1 时， n=2019 ；当 a=32 时， n=1009 .

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