题目

定义：圆心到直线的距离与圆的半径之比为直线关于圆的距离比 . （1） 设圆 求过 （2,0）的直线关于圆 的距离比 的直线方程； （2） 若圆 与 轴相切于点 （0,3）且直线 = 关于圆 的距离比 ，求此圆的 的方程； （3） 是否存在点 ，使过 的任意两条互相垂直的直线分别关于相应两圆 的距离比始终相等？若存在，求出相应的点 点坐标；若不存在，请说明理由. 答案： 解：设过 P(2,0) 的直线方程为 y=k(x−2) ∵圆 C0:x2+y2=1 的圆心为 (0,0) ，半径为 1 ∴根据题意可得 |2k|1+k2=3 ∴ k=±3 ，即所求直线为 y=±3(x−2) 解：设圆 C 的方程为 (x−a)2+(y−b)2=r2 根据题意可得 a2+(3−b)2=r2,|a|=r,|a−b|2=2r ∴解方程可得 a=−3,b=3,c=3 或 a=1,b=3,r=1 ，则有圆 C 的方程为 (x+3)2+(y−3)2=9 或 (x−1)2+(y−3)2=1 解：假设存在点 P(m,n) ，设过 P 的两直线为 y−n=k(x−m) 和 y−n=−1k(x−m) 又∵ C1:(x+1)2+y2=1 的圆心为 (−1,0) ，半径为 1 ， C2:(x−3)2+(y−3)2=4 的圆心为 (3,3) ，半径为 2 ∴根据题意可得 |k+km−n|1+k2=|3k+3−mk−n|21+1k2 ，即 k(2m+n−1)+(m−2n−3)=0 或 k(2m−n+5)+(3−m−2n)=0 ∴ {2m+n=1m−2n=3 或 {2m−n=−5m+2n=3 , ∴ {m=1n=−1 或 {m=−75n=115 ，则存在这样的点 P(1,−1) 和 (−75,115) ，使得使过 P 的任意两条互相垂直的直线分别关于相应两圆的距离比始终相等.

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