题目

如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，AC=60cm，∠A=60°，点D从点C出发沿CA方向以4cm/秒的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿AB方向以2cm/秒的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点D、E运动的时间是t秒（0＜t≤15）．过点D作DF⊥BC于点F，连接DE，EF． （1） 求证：AE=DF； （2） 四边形AEFD能够成为菱形吗？如果能，求出相应的t值，如果不能，说明理由； （3） 当t为何值时，△DEF为直角三角形？请说明理由． 答案： 证明：∵直角△ABC中，∠C=90°﹣∠A=30°． ∵CD=4t，AE=2t， 又∵在直角△CDF中，∠C=30°， ∴DF= 12 CD=2t， ∴DF=AE 解:∵DF∥AB，DF=AE， ∴四边形AEFD是平行四边形， 当AD=AE时，四边形AEFD是菱形， 即60﹣4t=2t， 解得：t=10， 即当t=10时，▱AEFD是菱形 解:当t= 152 时△DEF是直角三角形（∠EDF=90°）； 当t=12时，△DEF是直角三角形（∠DEF=90°）．理由如下： 当∠EDF=90°时，DE∥BC． ∴∠ADE=∠C=30° ∴AD=2AE ∵CD=4t， ∴DF=2t=AE， ∴AD=4t， ∴4t+4t=60， ∴t= 152 时，∠EDF=90°． 当∠DEF=90°时，DE⊥EF， ∵四边形AEFD是平行四边形， ∴AD∥EF， ∴DE⊥AD， ∴△ADE是直角三角形，∠ADE=90°， ∵∠A=60°， ∴∠DEA=30°， ∴AD= 12 AE， AD=AC﹣CD=60﹣4t，AE=DF= 12 CD=2t， ∴60﹣4t=t， 解得t=12． 综上所述，当t= 152 时△DEF是直角三角形（∠EDF=90°）；当t=12时，△DEF是直角三角形（∠DEF=90°）

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