题目

在四棱柱中，，且，平面，.（1）证明：.（2）求与平面所成角的正弦值. 答案：【答案】（1）见解析； （2）.【解析】（1）根据三角形全等证明AC⊥BD，结合可得AC⊥平面，故而；（2）以，的交点为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，计算平面的法向量，利用线面角的向量公式求解即可（1）证明：∵AD＝CD，∴∠DAC＝∠DCA，又∠BAD＝∠BCD，∴∠BAC＝∠BCA，∴AB＝AC，∴△ABD≌△CBD，∴∠ADB＝∠CDB，∴△AOD≌△COD，∴∠AOD＝∠COD＝90°，∴AC⊥BD，又因为平面，所以，又所以平面，因为平面，所以.（2）以，的交点为原点，过O作平行于的直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，由（1）及，知，，，，所以，，.设平面的法向量为，由，得，所以，令，得.设与平面所成的角为，则 .

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