题目

已知圆M： ，设点B，C是直线l： 上的两点，它们的横坐标分别是t， ，P点的纵坐标为a且点P在线段BC上，过P点作圆M的切线PA，切点为A （1） 若 ， ，求直线PA的方程； （2） 经过A，P，M三点的圆的圆心是D， 将 表示成a的函数 ，并写出定义域． 求线段DO长的最小值． 答案： 解： P(2a,a)(0≤a≤2). ∵M(0,2),MP=5,∴(2a)2+(a−2)2=5. 解得 a=1 或 a=−15 （舍去）. ∴P(2,1). 由题意知切线PA的斜率存在，设斜率为k. 所以直线PA的方程为 y−1=k(x−2) ，即 kx−y−2k+1=0. ∵ 直线PA与圆M相切， ∴|−2−2k+1|1+k2=1 ，解得 k=0 或 k=−43. 进而得到直线PA的方程是 y=1 或 4x+3y−11=0. 解：① P(2a,a)(t≤2a≤t+4). ∵PA 与圆M相切于点A， ∴PA⊥MA. ∴ 经过 A,P,M 三点的圆的圆心D是线段MP的中点. ∵M(0,2),∴D 的坐标是 (a,a2+1). DO2=f(a).∴f(a)=a2+(a2+1)2=54a2+a+1=54(a+25)2+45. ( a∈[t2,t+42] ) ②当 t2>−25 ，即 t>−45 时， f(a)min=f(t2)=516t2+t2+1; 当 t2≤−25≤t2+2 ，即 −245≤t≤−45 时， f(a)min=f(−25)=45; 当 t2+2<−25 ，即 t<−245 时 f(a)min=f(t2+2)=54(t2+2)2+(t2+2)+1=1516t2+3t+8 则 L(t)={145t2+8t+16,t>−45255,−245≤t≤−45145t2+48t+128,t<−245 

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