题目

已知：如图，在△ABC中，AB=BC=10，以AB为直径作⊙O分别交AC，BC于点D，E，连接DE和DB，过点E作EF⊥AB，垂足为F，交BD于点P． （1） 求证：AD=DE； （2） 若CE=2，求线段CD的长； （3） 在（2）的条件下，求△DPE的面积． 答案： 解：∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=90°，即BD⊥AC∵AB=BC，∴△ABD≌CBD∴∠ABD=∠CBD在⊙O中，AD与DE分别是∠ABD与∠CBD所对的弦∴AD=DE； 解：∵四边形ABED内接于⊙O，∴∠CED=∠CAB，∵∠C=∠C，∴△CED∽△CAB，∴ CECA=CDCB ，∵AB=BC=10，CE=2，D是AC的中点，∴CD= 10 ； 解：延长EF交⊙O于M，在Rt△ABD中，AD= 10 ，AB=10，∴BD=3 10 ，∵EM⊥AB，AB是⊙O的直径，∴ BE→=BM→ ，∴∠BEP=∠EDB，∴△BPE∽△BED，∴ BDBE=BEBP ，∴BP= 321015 ，∴DP=BD-BP= 131015 ，∴S△DPE：S△BPE=DP：BP=13：32，∵S△BCD= 12 × 10 ×3 10 =15，S△BDE：S△BCD=BE：BC=4：5，∴S△BDE=12，∴S△DPE= 5215 ．

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