题目

已知对数函数 过点 ， . （1） 求 的解析式，并指出 的定义域； （2） 设 ，求函数 的零点. 答案： 解：设函数 f(x)=logax ，∵ f(x) 过点 (1100,−2) ，∴ loga1100=−2 ， 解得 a=10 ,∴ f(x)=lgx . F(x)=lg(1+x)+lg(1−x) ，解不等式组 {1+x>01−x>0 可得 F(x) 的定义域为 解：函数 y=F(x)−a 的零点是方程 F(x)=a 的解. F(x)=lg(1−x2) ， x∈(−1,1) 因为 x∈(−1,1) ，所以 1−x2∈(0,1] ，所以 F(x)∈(−∞,0] ，即 F(x) 的值域为 (−∞,0] 若 a>0 ，则方程无解； 若 a=0 ，则 lg(1−x2)=0 ，所以 1−x2=1 ，方程有且只有一个解 x=0 ； 若 a<0 ，则 lg(1−x2)=a ，所以 x2=1−10a ，方程有两个解 x=±1−10a 综上所述：若 a>0 ，则 y=F(x)−a 无零点； 若 a=0 ，则 y=F(x)−a 有且只有一个零点 x=0 ； 若 a<0 ，则 y=F(x)−a 有两个零点 x=±1−10a .

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