题目

如图，抛物线y=x2﹣3x+ 与x轴相交于A、B两点，与y轴相交于点C，点D是直线BC下方抛物线上一点，过点D作y轴的平行线，与直线BC相交于点E （1） 求直线BC的解析式； （2） 当线段DE的长度最大时，求点D的坐标． 答案： ∵抛物线y=x2﹣3x+ 54 与x轴相交于A、B两点，与y轴相交于点C， ∴令y=0，可得x= 12 或x= 52 ，∴A（ 12 ，0），B（ 52 ，0）；令x=0，则y= 54 ，∴C点坐标为（0， 54 ），设直线BC的解析式为：y=kx+b，则有， {52k+b=0b=54 ，解得： {k=−12b=54 ，∴直线BC的解析式为：y=- 12 x+ 54 ； 设点D的横坐标为m，则纵坐标为（m， m2−3m+54 ）， ∴E点的坐标为（m， −12 m+ 54 ），设DE的长度为d，∵点D是直线BC下方抛物线上一点，则d= −12 m+ 54 ﹣（m2﹣3m+ 54 ），整理得，d=﹣m2+ 52 m，∵a=﹣1＜0，∴当m= b−2a=52−2×(−1) = 54 时，d最大= 4ac−b24a = 0−254−4 = 2516 ，∴D点的坐标为（ 54 ，- 1516 ）．

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