题目

已知函数.（1）当时，试求函数图像过点的切线方程；（2）当时，若关于的方程有唯一实数解，试求实数的取值范围；（3）若函数有两个极值点，且不等式恒成立，试求实数的取值范围. 答案：【答案】（1）；（2）或；（3）.【解析】试题对于（1），先利用导数求出切线的斜率，再写出点斜式方程；对于（2），方程可化为：，构造，通过研究的单调性即可求出的范围.对于（3），首先根据有两个极值点，利用导数求出的取值范围以及极值点；将恒成立转化为恒成立，然后构建函数求出的最小值即可.试题解析：（1）当时，有.∵，∴，∴过点的切线方程为：，即.（2）当时，有，其定义域为：，从而方程可化为：，令，则，由或；.∴在和上单调递增，在上单调递减，且，又当时，；当时，.∵关于的方程有唯一实数解，∴实数的取值范围是：或.（3）∵的定义域为：.令.又∵函数有两个极值点，∴有两个不等实数根，∴，且，从而.由不等式恒成立恒成立，∵，令，∴，当时恒成立，∴函数在上单调递减，∴，故实数的取值范围是：.

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