题目

设函数 ， 其中 ． （1） 讨论的单调性； （2） 当存在小于零的极小值时，若 ， 且 ， 证明： ． 答案： 解：由f(x)=xex−ax2−2ax+2a2−a⇒f′(x)=(x+1)(ex−2a)①当a≤0时，f'(x)>0⇒x>−1⇒f(x)在(−1，+∞)上为单调递增函数.f'(x)<0⇒x<−1⇒f(x)在(−∞，−1)上为单调递减函数.②当a>0时，令f'(x)=0⇒x1=−1，x2=ln2a（i）当x1=x2=−1时，a=12e，f'(x)=(x+1)(ex−1e)当x<−1时，x+1<0，ex−1e<0，此时f'(x)>0；当x>−1时，x+1>0，ex−1e>0，此时f'(x)>0；当x=−1时，x+1=0，ex−1e=0，此时f'(x)=0；∴当a=12e时，f'(x)≥0恒成立，故f(x)在R上为单调递增函数（ii）当x1⟨x2⇒a⟩12e时，f'(x)>0⇒x<−1或x>ln2a，f'(x)<0⇒−1<x<ln2a，故f(x)在(−∞，−1)和(ln2a，+∞)上为单调增函数，在(−1，ln2a)上为单调减函数.(iii) 当x1>x2⇒0<a<12e时，f'(x)>0⇒x<ln2a或x>−1，f'(x)<0⇒ln2a<x<−1，故f(x)在(ln2a，−1)上为单调增函数，在(−∞，ln2a)和(−1，+∞)上为单调减函数.综上所述：当a≤0时， f(x)在(−1，+∞)上为单调递增函数.在(−∞，−1)上为单调递减函数. 当a>0时，若a=12e，f(x)在R上为单调递增函数；若a>12e，f(x)在(−∞，−1)和(ln2a，+∞)上为单调增函数，在(−1，ln2a)上为单调减函数；若0<a<12e，f(x)在(ln2a，−1)上为单调增函数，在(−∞，ln2a)和(−1，+∞)上为单调减函数. 解：当f(x)存在小于零的极小值时，a<12e，此时f(x)在(0，+∞)上为单调递增函数，f(sinx1)<f(x1cosx2)⇒sinx1<x1cosx2⇔sinx1<x1cosx1⇔sinx1x1<cosx2令g(x)=sinxx−cosx⇒g'(x)=xcosx−sinx+x2sinxx2令u(x)=xcosx−sinx+x2sinx⇒u'(x)=x2cosx+xsinx>0∴u(x)在(0，π2)上单调递增，而u(0)=0∴u(x)>0∴g'(x)>0⇒g(x)在在(0，π2)上单调递增∵ limx→0sinx−xcosxx=limx→0cosx−(cosx−xsinx)1=0∴g(x)>0⇒sinxx>cosx从而sinx1x1>cosx1⇒sinx1x1<cosx2⇒cosx2>cosx1∵ y=cosx在(0，π2)上单调递减∴x1>x2

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